Точечные оценки для средней и дисперсии генеральной совокупности
Обозначим через 
и σ2 среднюю и дисперсию генеральной совокупности.
Возвратная выборка объема n может рассматриваться как совокупность n независимых случайных величин Xj, имеющих одно и то же распределение, совпадающее с генеральным, для которых, следовательно:
M(Xj) = ; D(Xj) = σ2
Для точечной оценки генеральной средней естественно использовать статистику 
¾ среднюю. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получим:
(1.9.16)
(1.9.17)
Нетрудно видеть, что статистика θ ¾ X* является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой параметра .
Для точечной оценки генеральной дисперсии воспользуемся статистикой 
— выборочной дисперсией. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что
(1.9.18)
Таким образом, статистика θ = D* является смещенной
оценкой для генеральной дисперсии σ2. Однако смещенность легко устраняется путем введения корректирующего множителя 
. Статистика
(1.9.19)
(так называемая «исправленная» выборочная дисперсия) является несмещенной оценкой генеральной дисперсии σ2 и используется для ее точечной оценки.
Заметим, что при большом п отношение 
и потому значение s2≈D*
В случае безвозвратной выборки можно показать, что точечная оценка средней будет той же (т. е. *), а точечная оценка дисперсии должна быть заменена на:
(1.9.20)
где N — объем генеральной совокупности
В случае безвозвратной выборки изменится и выражение для D(*), которое потребуется для построения доверительного интервала при оценке средней:
(1.9.21)
При относительно небольшом объеме выборки 
и 
Другие материалы:
Современный уровень жизни населения. Снижение уровня
жизни
Оно происходило в течение всего периода постсоветских рыночных реформ. Индекс развития человеческого потенциала снизился с 0,848 в 1992г. до 0,78 в 1996г.; по этому показателю Россия была отброшена в число развивающихся стран.
За годы ре ...
Глобальные проблемы
Наконец, существуют еще глобальные проблемы, хотя после того, как отшумели доклады Римского клуба, о них стали говорить меньше. Но проблемы-то остаются! Растет мировое население, которое уже сегодня потребляет 40% существующей на Земле би ...
Институт семьи и статистика бракосочетательных
процессов
По данным переписи за 2002 год, число пар составило 34 млн. пар, причем число женщин, указавших, что они состоят в браке, превысило число состоящих в браке мужчин на 65 тыс. человек.
Согласно статистике число зарегистрированных пар в год ...